Question

【题目】设，.

（1）令，求的单调区间；

（2）当时，证明.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求出的导数，，分讨论，分别由求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；（2）只要证明即可，由（1）知，，证明在即可.

试题解析：（1）由,.

可得.

当时, 时，，函数单调递增；

当时，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；

所以，当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）只要证明对任意，.

由（1）知，在取得最大值，

且.

令，，

则在上单调递增，.

所以当时，即.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、利用导数证明不等式，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.