Question

16．如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2a，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）判断平面BCE与平面CDE的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）可取CE中点为M，并连接BM，FM，从而可得到MF∥DE，MF=$\frac{1}{2}DE$，进一步便可得到MF∥AB，且MF=AB，从而四边形ABMF为平行四边形，从而有AF∥BM，这样根据线面平行的判定定理便可得到AF∥平面BCE；
（2）容易看出BM⊥平面CDE，从而可判断平面BCE⊥平面CDE，可根据线面垂直的性质及判定定理证明AF⊥平面CDE，从而有BM⊥平面CDE，这样由面面垂直的判定定理即可得到平面BCE⊥平面CDE．

解答 解：（1）证明：如图，取CE中点M，连接BM，FM；
∵F为CD的中点；
∴MF∥DE，且$MF=\frac{1}{2}DE$；
又DE⊥平面ACD，AB⊥平面ACD，DE=2AB；
∴MF⊥平面ACD，MF∥AB，且MF=AB；
∴四边形ABMF为平行四边形；
∴AF∥BM，BM?平面BCE，AF?平面BCE；
∴AF∥平面BCE；
（2）可看出AF⊥平面CDE，∴平面BCE⊥平面CDE，证明如下：
△ACD为等边三角形，F为CD中点；
∴AF⊥CD；
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD；
∴DE⊥AF，即AF⊥DE，DE∩CD=D；
∴AF⊥平面CDE；
由（1）知，BM∥AF；
∴BM⊥平面CDE，BM?平面BCE；
∴平面BCE⊥平面CDE．

点评 考查三角形中位线的性质，平行线的性质：平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面；同时垂直于一个平面的两直线平行，平行四边形的定义，以及线面平行、线面垂直，以及面面垂直的判定定理．