Question

6．已知函数f（x）的定义域为（0，4），函数g（x）=$\frac{{f（{x+1}）}}{{\sqrt{x-1}}}$的定义域为集合A，集合B={x|a＜x＜2a-1}，若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据f（x）的定义域便可得出函数g（x）的自变量x满足$\left\{\begin{array}{l}{0＜x+1＜4}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，从而得出集合A={x|1＜x＜3}，而由A∩B=B便知B⊆A，这样可看出：讨论B=∅和B≠∅两种情况，求出每种情况的a的范围，再求并集便可得出实数a的取值范围．

解答 解：要使g（x）有意义，则：$\left\{\begin{array}{l}{0＜x+1＜4}\\{x＞1}\end{array}\right.$；
∴1＜x＜3；
∴A={x|1＜x＜3}；
∵A∩B=B；
∴B⊆A；
①若B=∅，满足B⊆A，则a≥2a-1；
∴a≤1；
②若B≠∅，则：$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{2a-1≤3}\\{a＜2a-1}\end{array}\right.$；
∴1＜a≤2；
∴a≤2；
∴实数a的取值范围为（-∞，2]．

点评 考查描述法表示集合，函数定义域的概念及其求法，空集的概念，交集、子集的概念，不要漏了B=∅的情况．