Question

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1）（a＞-1）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，设f（x）的最小值为g（a），若g（a）＜t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1）（a＞-1）的导数，由于参数a的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究函数的单调区间；
（2）由（Ⅰ）的结论，求出g（a）的表达式，由于g（a）＜t恒成立，故求出g（a）的最大值，即得实数t的取值范围的左端点．

解答：解：（1）f′（x）=a-

a+1

x+1

=

ax-1

x+1

（x＞-1），…（1分）
当a=0时，f′（x）=-

1

x+1

＜0，所以函数f（x）的减区间为（-1，+∞），无增区间；
当a≠0时，f′（x）=

a(x- 1 a )

x+1

，
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞

1

a

，由f′（x）＜0得-1＜x＜

1

a

，
所以函数f（x）的减区间为（-1，

1

a

），增区间为（

1

a

，+∞），；
若-1＜a＜0，此时

1

a

≤-1，所以f′（x）=

a(x- 1 a )

x+1

＜0，
所以函数f（x）的减区间为（-1，+∞），无增区间；
综上，当-1＜a≤0时，函数f（x）的减区间为（-1，+∞），无增区间，
当a＞0时，函数f（x）的减区间为（-1，

1

a

），增区间为（

1

a

，+∞），．…（6分）
（2）由（Ⅰ）得，g（a）=f（

1

a

）=1-（a+1）ln（

1

a

+1），…（7分）
因为a＞0，所以g（a）＜t?

g(a)

a

-

t

a

＜0?

1

a

-(1+

1

a

)ln(1+

1

a

) -

t

a

＜0，
令h（x）=x-（1+x）ln（1+x）-tx，（x＞0），则h（x）＜0恒成立，
由于h′（x）=-ln（1+x）-t，
当t≥0时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，+∞）上是减函数，
所以h（x）＜h（0）=0成立；…（10分）
当t＜0时，若h′（x）＞0，得0＜x＜e^-t-1，
故函数h（x）在（0，e^-t-1）上是增函数，
即对0＜x＜e^-t-1，h（x）＞h（0）=0，与题意不符；
综上，t≥0为所求．…（12分）

点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函数的最值，本题中第一小题是求出函数的单调区间，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细．