Question

2．（文）已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，-1），$\overrightarrow{b}$=（1，1），$\overrightarrow{c}$=（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα）（a∈R），实数m，n满足m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{c}$，则（m-4）²+n²的最大值为（　　）

• A． 4
• B． $20+8\sqrt{2}$
• C． 32
• D． 36

Answer 1

分析 利用向量的运算法则及两向量相等的公式可求出m，n；表示出（m-4）²+n²，据三角函数的有界性求出三角函数的最值．

解答 解：m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{c}$，则m（1，-1）+n（1，1）=2（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），
$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2\sqrt{2}cosα}\\{-m+n=2\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{2}（cosα-sinα）}\\{n=\sqrt{2}（cosα+sinα）}\end{array}\right.$，
由（m-4）²+n²=m²+n²-8m+16=2（cosα-sinα）²+2（cosα+sinα）-8$\sqrt{2}$（cosα-sinα）+16，
=2（1-2sinαcosα）+2（1+2sinαcosα）+16sin（α-$\frac{π}{4}$）+16，
=16sin（α-$\frac{π}{4}$）+20，
由-1≤sin（α-$\frac{π}{4}$）≤1，
4≤16sin（α-$\frac{π}{4}$）+20≤36，
∴4≤（m-4）²+n²≤36，
∴（m-4）²+n²的最大值36，
故选D．

点评 本题考查向量的运算法则，向量相等的坐标公式，以及三角函数的有界性，属于基础题．