题目内容
已知
为椭圆
上的三个点，
为坐标原点.
（1）若
所在的直线方程为
，求
的长；
（2）设
为线段
上一点，且
，当
中点恰为点
时，判断
的面积是否为常数，并说明理由.
（1）
;（2）定值为
【解析】
试题分析：（1）因为求
所在的直线方程为
与椭圆方程
相交所得的弦长.一般是通过联立两方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，可以解得两个交点的坐标的横坐标，确定点的坐标，从而根据两点的距离公式求出弦长.
（2）直线与圆的位置关系，首先考虑直线的斜率是否存在，做好分类的工作.若当斜率存在时，通过联立方程，应用韦达定理知识，求出弦长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高的长.从而写出三角形的面积（含斜率的等式）.再根据
的关系求出点P的坐标，带到椭圆方程中，即可求出含斜率的一个等式，从而可得结论.
试题解析：（1）由
得
，
解得
或
，
所以
两点的坐标为
和
所以.
（2）①若
是椭圆的右顶点（左顶点一样），则
，
因为
，
在线段
上，所以
，求得
，
所以
的面积等于
.
②若B不是椭圆的左、右顶点，设
，
，
由
得
，
，
所以，
的中点
的坐标为
，
所以
，代入椭圆方程，化简得
.
计算
.
因为点
到
的距离
所以，
的面积
.
综上，
面积为常数.
考点：1.直线与椭圆的位置关系.2.弦长公式.3.点到直线的距离公式.4.向量的知识.5.整体的解题思想.6.过定点的问题.
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