Question

4．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则对称点（P，Q）是函数y=f（x）的一个“伙伴点组”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）．则下列函数中，恰有两个“伙伴点组”的函数是②③（填空写所有正确选项的序号）
①y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x＞0}\\{-x-1，x＜0}\end{array}\right.$；②y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-1，x＞0}\\{-ln|x|，x＜0}\end{array}\right.$；③y=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x＜0}\end{array}\right.$；④y=$\left\{\begin{array}{l}{3x+\frac{1}{2}，x＞0}\\{{e}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据“伙伴点组”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f（x）则x＜0时关于原点对称的图象，利用对称图象在x＞0两个图象的交点个数，即为“伙伴点组”的个数．根据条件进行判断即可．

解答 解：①函数y=-x-1，（x＜0）关于原点对称的函数为-y=x-1，即y=-x+1，
在x＞0上作出两个函数的图象如图，
由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数只有一个，所以函数f（x）的“伙伴点组”有1个，不满足条件．
②函数y=-ln|x|（x＜0）关于原点对称的函数为-y=-ln|-x|，即y=ln|x|，
在x＞0上作出两个函数的图象如图，
由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有2个，所以函数f（x）的“伙伴点组”有2个，满足条件．

③函数y=-x²-4x，（x＜0）关于原点对称的函数为-y=-x²+4x，即y=x²-4x，
在x＞0上作出两个函数的图象如图，
由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有2个，所以函数f（x）的“伙伴点组”有2个，满足条件．
④函数y=e^-x，（x＜0）关于原点对称的函数为-y=e^x，即y=-e^x，
在x＞0上作出两个函数的图象如图，
由图象可知两个函数在x＞0上的交点个数有0个，所以函数f（x）的“伙伴点组”有0个，不满足条件．，
故答案为：②③．

点评 本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．