Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=3，且公差d≠0，其前n项和为S_n，且a₁，a₄，a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，利用a₁，a₄，a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄，求出公差，即可求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出前n项和，可得数列通项，利用裂项法求数列的和，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：设等比数列的公比为q，则
∵a₁，a₄，a₁₃分别是等比数列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
∴
∵a₁=3，∴d²-2d=0
∴d=2或d=0（舍去）
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
∵，
∴b_n=3^n-1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
∴==（）
∴==
=＜
∵≤=
∴≥
∴
点评：本题考查数列的通项，考查裂项法求数列的和，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．