Question

10．已知直线l：（3+t）x-（t+1）y-4=0（t为参数）和圆C：x²+y²-6x-8y+16=0：
（1）t∈R时，证明直线l与圆C总相交：
（2）直线l被圆C截得弦长最短，求此弦长并求此时t的值．

Answer 1

分析 （1）直线l：（3+t）x-（t+1）y-4=0可化为t（x-y）+（3x-y-4）=0，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{3x-y-4=0}\end{array}\right.$，可得直线l恒过定点，即可得出结论；
（2）直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，从而可求t的值，求出弦心距，可得直线l被圆C截得的弦长的最小值．

解答 （1）证明：直线l：（3+t）x-（t+1）y-4=0可化为t（x-y）+（3x-y-4）=0
令$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{3x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得x=y=2
∴直线l恒过定点A（2，2），
（2，2），代入可得2²+2²-12-16+16＜0，
∴t∈R时，证明直线l与圆C总相交
（2）解：直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l
∵圆C：（x-3）²+（y-4）²=9，圆心C（3，4），半径为3
∴CA的斜率为2，
∴l的斜率为-$\frac{1}{2}$
∵直线l：（3+t）x-（t+1）y-4=0的斜率为$\frac{3+t}{t+1}$
∴$\frac{3+t}{t+1}$=-$\frac{1}{2}$
∴t=-$\frac{7}{3}$
∵|CA|=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2$\sqrt{9-5}$=4．

点评 本题考查直线恒过定点，考查弦长的计算，解题的关键是掌握圆的特殊性，属于中档题．