Question

【题目】为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.

（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；①；②；③，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.

（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.

（ⅰ）若从设备的生产流水线上随意抽取件零件，求恰有一件次品的概率；

（ⅱ）若从样本中随意抽取件零件，计算其中次品个数的分布列和数学期望.

Answer 1

【答案】（1）该设备的性能为丙级别；（2）（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，.

【解析】

（1）利用条件，根据表格中的数据验证随机变量是否满足①②③中的不等式，即可得出结论；

（2）（i）计算出从设备的生产流水线上任取一件为次品的概率，然后利用独立重复试验的概率公式可计算出结果；

（ii）由题意得出随机变量的可能取值，根据超几何分布的知识得出其分布列，由此可计算出随机变量的数学期望值.

（1）由题意知道：，，

，，，.

所以由图表知道：，

，

所以该设备的性能为丙级别；

（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有件，大于的零件有件，共计件.

（ⅰ）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，

所以恰有一件次品的概率为；

（ⅱ）从件样品中任意抽取件，次品数可能取值为、、，

，，.

所以，随机变量的分布列为

故.