Question

【题目】已知函数，，.

（Ⅰ）若直线与曲线相切于点，证明：；

（Ⅱ）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（Ⅰ）求得函数的导数，由导数的几何意义和直线的图象过定点，得到，设，利用导数得到函数的单调性，根据零点的存在定理，即可求解.

（Ⅱ）由得，令，利用导数和由（1）知在上单调递增，求得，通过分类讨论的范围，即可满足条件的范围.

（Ⅰ），

由导数的几何意义可知，，　①

又直线的图象过定点，因此，

即，　②

联立①②消去有.

设，则，所以在上单调递增．

而，，，

由函数零点存在性定理知.

（Ⅱ）由得，

令，则，

由（Ⅰ）知在上单调递增，

且时，；在，，

故在上单调递减，在上单调递增．

∴.

易证，∴，

当时，；当时，.

（1）若，则，

此时有无穷多个整数解，不合题意；

（2）若，即，因为在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以无整数解，不合题意；

（3）若，即，此时，故0，1是的两个整数解，又只有两个整数解，因此，

解得，所以.