题目内容
【题目】已知函数
．
(Ⅰ)若函数
的图像在
处的切线不过第四象限且不过原点，求
的取值范围；
(Ⅱ)设
，若
在
上不单调且仅在
处取得最大值，求
的取值范围．
【答案】(Ⅰ) 
；(Ⅱ) 
.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)求出切线方程为
，由切线不过第四象限且不过原点即斜率大于
，在
轴上的截距大于
得解；（Ⅱ）可求得
，设
（
），利用
在
上不单调，可得
，从而可求得
，再利用条件仅在
处取得最大值，可求得
，两者联立即可求得
的范围．
试题解析：(Ⅰ)
，
，
………………2分
所以函数
图像在
的切线方程为
，即，……………3分
由题意知
，
，
的取值范围为，………………5分
(Ⅱ)
，………………6分
设
，
若
在
上不单调，则
，………………7分
，
，………………9分
同时
仅在
处取得最大值，所以只要
.
即可得出：
………………11分
则
的范围：………………12分
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【题目】心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按分层抽样的方法抽取50名同学（男生30人、女生20人），给每位同学立体几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如下表：（单位：人）
立体几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？
（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为
，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．
附表及公式：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
