题目内容

在椭圆 $数学公式$ 中作内接矩形，则内接矩形的最大面积是________．

40
分析：由于椭圆的对称性，故内接矩形也具有同样的对称性，只需设内接矩形的一个顶点坐标即可知矩形的边长，再利用均值定理，计算矩形面积的最大值即可
解答：设椭圆内接矩形的第一象限的顶点坐标为P（x，y）
则由椭圆的对称性，此矩形的边长分别为2x，2y
∴内接矩形面积S=2x×2y=4xy
∵点P在椭圆上
∴ $\text{[math]}$ ≥2× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴xy≤10
∴S=4xy≤40
故答案为 40
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质，利用均值定理求函数的最值的方法，建立面积关于变量的函数关系式是解决本题的关键