Question

过抛物线y²=2px焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则

OA

•

OB

的值是（　　）

A． 3 4 p2

B．- 3 4 p2

C．3p2

D．-3p2

Answer 1

若直线l垂直于x轴，则 A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p).

OA

•

OB

=(

p

2

)2-p2=-

3

4

p2．…（2分）
若直线l不垂直于轴，设其方程为 y=k(x-

p

2

)，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

?k2x2-p(2+k2)x+

p2

4

k2=0
∴x1+x2=

(2+k2)

k2

p，x1•x2=

p2

4

．…（4分）
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-

p

2

)(x2-

p

2

)=(1+k2)x1x2-

p

2

k2(x1+x2)+

p2k2

4

=(1+k2)

p2

4

-

p

2

k2•

(2+k2)p

k2

+

p2k2

4

=-

3

4

p2．
综上，

OA

•

OB

=-

3

4

p2为定值．…（6分）
故选B．