题目内容

正项数列{an}中，前n项和为Sn，且a1=2，且an=2
2Sn-1
+2(n≥2)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
an+8
2n+1
，Tn=b1+b2+…+bn，证明
5
2
≤Tn＜7．
（1）由an=2
2Sn-1
+2(n≥2)，得Sn-Sn-1=2
2Sn-1
+2(n≥2)，
∴Sn=Sn-1+2
2
Sn-1
+2=(
Sn-1
+
2
)2，
∴
Sn
=
Sn-1
+
2
，
∴{
Sn
}是首项为
2
公差为
2
的等差数列，∴
Sn
=
2
n，∴Sn=2n2，
∴an=2
4(n-1)2
+2=4n-2(n≥2)，对n=1也成立，
∴an=4n-2；
（2）证明：bn=
2n+3
2n
，
Tn=
5
21
+
7
22
+
9
23
+…+
2n+3
2n
，
1
2
Tn=
5
22
+
7
23
+
9
24
+…+
2n+1
2n
+
2n+3
2n+1
，
两式相减，得
1
2
Tn=
5
2
+
2
22
+
2
23
+…+
2
2n
-
2
2n+1
=
7
2
-
2n+7
2n+1
，
所以T n=7-
2n+7
2n
，
∵n∈N•∴
2n+7
2n
＞0∴Tn＜7，
下面证明Tn≥
5
2
，
∵Tn+1-Tn=
2n+7
2n
-
2n+9
2n+1
=
2n+5
2n+1
＞0，∴Tn+1＞Tn，∴{Tn}单调递增，
∴Tn≥T1=
5
2
，
∴
5
2
≤Tn＜7
练习册系列答案
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正项数列{an}中，前n项和为Sn，且a1=2，且an=2
2Sn-1
+2(n≥2)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
an+8
2n+1
，Tn=b1+b2+…+bn，证明
5
2
≤Tn＜7．
已知正项数列{an}中，a1=1，an+1=1+
an1+an
(n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an+1(n∈N*)．
已知在正项数列{an}中，a1=1，前n项的和Sn满足：2Sn=an+
1
an
．则此数列的通项公式an=
n
-
n-1
(n∈N*)
n
-
n-1
(n∈N*)
．
已知正项数列{an}中a1=
1
2
，函数f(x)=
2x
1+x
．
（Ⅰ）若正项数列{an}满足an+1=f（an）（n≥1且n∈N*），试求出a2，a3，a4．由此归纳出通项an，并证明；
（Ⅱ）若正项数列{an}满足an+1≤f（an）（n≥1且n∈N*），数列{bn}满足bn=
an
2n+1
，其和为Tn，求证：Tn≤
1
2
-
1
1+2n
．
已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2
Sn
=an+1，则an=
 
．

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