Question

正项数列{a_n}中，前n项和为S_n，且a₁=2，且an=2

2Sn-1

+2(n≥2)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an+8

2n+1

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，证明

5

2

≤Tn＜7．

Answer 1

分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1消掉所给等式中的a_n，变为S_n与S_n-1的递推式，通过变形可判断{

Sn

}是首项为

2

公差为

2

的等差数列，从而可求S_n，再代入an=2

2Sn-1

+2(n≥2)可求得a_n，注意验证n=1是否成立．
（2）由（1）表示出b_n，利用错位相减法可求得T_n，根据其表达式易证T_n＜7，再判断{T_n}单调性，由单调性可证得T_n≥

5

2

．

解答：（1）解：由an=2

2Sn-1

+2(n≥2)，得Sn-Sn-1=2

2Sn-1

+2(n≥2)，
∴Sn=Sn-1+2

2

Sn-1

+2=(

Sn-1

+

2

)2，
∴

Sn

=

Sn-1

+

2

，
∴{

Sn

}是首项为

2

公差为

2

的等差数列，∴

Sn

=

2

n，∴Sn=2n2，
∴an=2

4(n-1)2

+2=4n-2(n≥2)，对n=1也成立，
∴a_n=4n-2；
（2）证明：bn=

2n+3

2n

，
Tn=

5

21

+

7

22

+

9

23

+…+

2n+3

2n

，

1

2

Tn=

5

22

+

7

23

+

9

24

+…+

2n+1

2n

+

2n+3

2n+1

，
两式相减，得

1

2

Tn=

5

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2

2n+1

=

7

2

-

2n+7

2n+1

，
所以T n=7-

2n+7

2n

，
∵n∈N•∴

2n+7

2n

＞0∴Tn＜7，
下面证明Tn≥

5

2

，
∵Tn+1-Tn=

2n+7

2n

-

2n+9

2n+1

=

2n+5

2n+1

＞0，∴T_n+1＞T_n，∴{T_n}单调递增，
∴Tn≥T1=

5

2

，
∴

5

2

≤Tn＜7

点评：本题考查数列递推式、等差数列通项公式及数列求和，若{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，则{a_nb_n}的前n项和宜用错位相减法求解．