Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
（2）求异面直线AE与CD所成的角的余弦值；
（3）求A点到平面PCD的距离．

Answer 1

分析：（1）以A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系，根据向量数量积为零可知线线垂直，从而

PD

⊥面BEA，根据线面垂直的性质可知PD⊥BE；
（2）先分别求出向量

AE

，向量

CD

的坐标，然后利用空间向量的夹角公式求出两向量的夹角的余弦值，即为AE与CD所成角的余弦值；
（3）先求出平面PCD的法向量，然后求出DA向量在法向量上的投影的长度即为A点到平面PCD的距离．

解答：解：（1）证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系（如图）
则A(0，0，0)，B(1，0，0)D(0，2，0)P(0，0，

2 3

3

)

AB

•

PD

=(1，0，0)•(0，2，-

2 3

3

)=0
又

AE

•

PD

=0∴

AB

⊥

PD

，

AE

⊥

PD

所以

PD

⊥面BEA，BE?面BEA，
∴PD⊥BE
（2）∵PA⊥面ABCD，PD与底面成30°角，
∴∠PDA=30°
过E作EF⊥AD，垂足为F，则AE=AD•sin30°=1，∠EAF=60°
AF=

1

2

，EF=

3

2

∴E(0，

1

2

，

3

2

)，
于是

AE

=(0，

1

2

，

3

2

)
又C(1，1，0)，D(0，2，0)，

CD

=(-1，1，0)
则COSθ=

AE • CD

| AE || CD |

=

2

4

∴AE与CD所成角的余弦值为

2

4

．
（3）设

V

⊥平面PCD，则

V

⊥

PD

，

V

⊥

CD

即(x，y，z)•(0，2，-

2 3

3

)=0∴2y-

2 3

3

z=0（x，y，z）•（-1，1，0）=0∴-x+y=0
令y=1则x=y=1，z=

3

y=

3

，

V

=(1，1，

3

)
A点到平面PCD的距离设为d，则d=

| V • DA |

| V |

=

2 5

5

即A点到平面PCD的距离为

2 5

5

．

点评：本题主要考查了线线的位置关系、线线所成角以及点到面的距离，同时考查了利用空间向量求解立体几何问题，考查空间想象能力，运算求解能力，属于综合题．