Question

已知函数f（x）=x³-x²+

x

2

+

1

4

．证明：存在x₀∈（0，

1

2

），使f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：令g（x）=f（x）-x．只要证明g（x）在（0，

1

2

）上有零点，由零点存在性定理，只要证g（0）•g（

1

2

）＜0即可．

解答：证明：令g（x）=f（x）-x．
∵g（0）=

1

4

，g（

1

2

）=f（

1

2

）-

1

2

=-

1

8

，
∴g（0）•g（

1

2

）＜0．
又函数g（x）在[0，

1

2

]上连续，
所以存在x₀∈（0，

1

2

），使g（x₀）=0．
即f（x₀）=x₀．

点评：本题考查函数的零点和方程根的关系、函数零点的存在性定理，考查转化思想．