Question

19．已知在平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为$F（-\sqrt{3}，0）$，右顶点为D（2，0），P，Q分别是椭圆的左顶点和下顶点，过原点的直线交椭圆于A，B，且A点在第一象限，自A点作x轴的垂线，交x轴于C点，连BC．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若AB平分线段PQ，求直线AB的斜率k_AB；并在此情况下，求A到直线BC的距离．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的半长轴a=2，半焦距$c=\sqrt{3}$，则半短轴b=1，然后求解椭圆的标准方程．
（2）求出AB的斜率k_AB，得到直线AB的方程与椭圆方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$联立，求出直线BC的方程，利用点A到直线BC的距离公式求解即可．

解答 解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距$c=\sqrt{3}$，则半短轴b=1
又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（2）由（1）知，P（-2，0），Q（0，-1），则PQ的中点坐标为$（-1，-\frac{1}{2}）$，
若AB平分线段PQ，则AB过PQ的中点，又AB过原点，
所以AB的斜率k_AB=$\frac{{-\frac{1}{2}-0}}{-1-0}=\frac{1}{2}$．…（7分）
此时直线AB的方程为$y=\frac{1}{2}x$，与椭圆方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$联立，解得$x=±\sqrt{2}$．
这样$A（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），B（-\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}），C（\sqrt{2}，0）$，所以直线BC的方程为$x-4y-\sqrt{2}=0$
故点A到直线BC的距离为$d=\frac{{|{\sqrt{2}-4×\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-4）}^2}}}}=\frac{{2\sqrt{34}}}{17}$…（13分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．