Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（0，1），过抛物线上的异于顶点的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与y轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）判断直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）若直线MN与y轴的交点恰为R（0，2），求证：直线AB过定点．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线开口向上，以F（0，1）为焦点，易得抛物线的标准方程为x²=4y；
（2）设A（x₁，

1

4

x₁²），B（x₂，

1

4

x₂²），可得切线AC、BD的方程，求得C（0，-

1

4

x₁²）且D（0，-

1

4

x₂²），由此可得直线AD方程为y=

x12+x22

4x1

x-

1

4

x₂²且直线BC方程为y=

x12+x22

4x2

x-

1

4

x₁²，分别联解AC、BD方程和AD、BC方程，得出点M、N的纵坐标相等，故直线MN的斜率k=0为定值；
（3）由（2）得

x1x2

4

=2，解出x₁x₂=8．设直线AB：y=kx+m，与抛物线方程消去y得x²-4kx-4m=0，从而得到x₁x₂=-4m=8，解之得m=-2，所以直线AB恒过定点（0，-2）．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点在原点，焦点为F（0，1），
∴抛物线标准方程为x²=2py，且

p

2

=1，可得2p=4
因此，抛物线的标准方程为x²=4y；
（2）设A（x₁，

1

4

x₁²），B（x₂，

1

4

x₂²）
可得直线AC方程为y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，直线BD方程为y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²，
∴C点坐标为（0，-

1

4

x₁²），D点坐标为（0，-

1

4

x₂²）
因此，直线AD方程为y=

x12+x22

4x1

x-

1

4

x₂²，
直线BC方程为y=

x12+x22

4x2

x-

1

4

x₁²，
直线AC、BD方程联解，得M坐标为（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）
直线AD、BC方程联解，得N坐标为（

x1 x2 (x1+x2)

x12+x22

，

x1x2

4

）
由此可得点M、N的纵坐标相等，故直线MN的斜率k=0，为定值；
（3）由（2）得

x1x2

4

=2，得x₁x₂=8
设直线AB：y=kx+m，由

y=kx+m x2=4y

消去y得x²-4kx-4m=0
由根与系数的关系，得x₁x₂=-4m=8，解之得m=-2
∴直线AB恒过定点（0，-2）．

点评：本题给出抛物线的两条切线AC、BD与y轴交于C、D两点，在AC与BD交于点M、直线AD与直线BC交于点N的情况下证明直线的斜率为定值，并求直线AB经过的定点坐标．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．