Question

已知圆C：（x+2）²+y²=24，定点A（2，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上（C为圆心），且满足，，设点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点B（m，0）作倾斜角为的直线l交曲线E于C、D两点．若点Q（1，0）恰在以线段CD为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，，知NP为AM的中垂线，，所以＞4=，由此能求出N的轨迹方程．
（2）设l的方程是，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由，得：2x²-2mx+m²-6=0，由△＞0，得，，由点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，得，由此能求出m的取值范围．
解答：解：（1）由，，知NP为AM的中垂线，
∴，∴＞4=，
∴N的轨迹是椭圆，c=2，a=，即N的轨迹方程是．
（2）由题意，l的方程是，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由，消去y，整理得：2x²-2mx+m²-6=0，
由△＞0⇒4m²-4×2（m²-6）＞0⇒，
∴，
又点Q（1，0）在以线段CD为直径的圆内，得，
∴（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）＜0，
，
∴，
∴2m²-3m-9＜0，
即．
综上所述，m的取值范围．
点评：本题考查轨迹方程的求法和求实数m的取值范围．解题时要认真审题，注意合理地挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．