Question

已知圆C：（x-2）²+（y-1）²=25，过点M（-2，4）的圆C的切线l₁与直线l₂：ax+3y+2a=0平行，则l₁与l₂间的距离是（　　）

• A、

  8

  5

• B、

  2

  5

• C、

  28

  5

• D、

  12

  5

Answer 1

分析：法一：利用平行线间的斜率之间的关系可设：切线l₁的方程为ax+3y+m=0，把点M的坐标代入得到ax+3y+2a-12=0．再利用圆的切线的性质：圆心到切线的距离d=r，即可得出a，再利用两条平行线间的距离公式即可得出．
法二：经验证点M（-2，4）在圆上，可得k_CM=-

3

4

，于是切线l₁的斜率k=

4

3

，
又切线l₁与直线l₂：ax+3y+2a=0平行，得到-

a

3

=

4

3

，解得a，以下同法一．

解答：解：法一：∵过点M（-2，4）的圆C的切线l₁与直线l₂：ax+3y+2a=0平行，
∴可设切线l₁的方程为ax+3y+m=0，把点M的坐标代入得到-2a+3×4+m=0，解得m=2a-12．
即切线方程为ax+3y+2a-12=0．
由圆C：（x-2）²+（y-1）²=25，得到圆心C（2，1），半径r=5．
∴圆心C（2，1）到切线的距离d=

|2a+3+2a-12|

a2+9

=5，化为a²+8a+16=0，解得a=-4．
∴l₁的方程为：-4x+3y-20=0，即4x-3y+20=0．
又l₂的方程为：-4a+3y-8=0，即4x-3y+8=0．
∴l₁与l₂间的距离d=

|20-8|

42+(-3)2

=

12

5

．
法二：经验证点M（-2，4）在圆上，由k_CM=

4-1

-2-2

=-

3

4

，
可得切线l₁的斜率k=

4

3

，
又切线l₁与直线l₂：ax+3y+2a=0平行，
∴-

a

3

=

4

3

，解得a=-4．
以下同解法一．
故选：D．

点评：本题考查了圆的切线的性质、两条平行线之间的距离公式、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．