Question

12．已知函数f（x）=（-2ax+a+1）e^x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若0≤a≤1，求函数f（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，求出函数的导数，f'（x）=-2ae^x+（-2ax+a+1）e^x=（-2ax-a+1）e^x，讨论a与0的关系，确定单调区间；
（Ⅱ）讨论$\frac{1-a}{2a}$与区间端点的大小关系，确定函数在[0，1]上的单调性，进一步求最值．

解答 解：（Ⅰ）由已知，f'（x）=-2ae^x+（-2ax+a+1）e^x=（-2ax-a+1）e^x，
①当a=0时，f'（x）=e^x＞0，所以原函数在R上为增函数；
②当a≠0时，令f'（x）=（-2ax-a+1）e^x=0，解得x=$\frac{1-a}{2a}$，
a＞0时，f（x）的递增区间是（-∞，$\frac{1-a}{2a}$），递减区间是（$\frac{1-a}{2a}$，+∞）；
a＜0时，f（x）的递减区间是（-∞，$\frac{1-a}{2a}$），递增区间是（$\frac{1-a}{2a}$，+∞）；
（Ⅱ）当0≤a≤1时，并且$\frac{1-a}{2a}＜1$时，即$\frac{1}{3}$＜a＜1时，
函数f（x）在[0，$\frac{1-a}{2a}$]上递增，在[$\frac{1-a}{2a}$，1]上递减，所以函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（$\frac{1-a}{2a}$）=2a${e}^{\frac{1-a}{2a}}$，又f（0）=a+1，f（1）=（1-a）e，所以最小值为a+1．
当$\frac{1-a}{2a}≥1$时，即0≤a≤$\frac{1}{3}$时，数f（x）在[0，1]上单调递增，所以其最大值为分f（1）=（1-a）e，最小值为f（0）=a+1；

点评 本题考查了函数的单调区间的求法以及讨论的思想求函数的最值，属于中档题．