Question

已知数列．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）证明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据，可构造新数列{an-}，为等比数列，求出新数列的通项公式，再根据新数列的通项公式，就可求出{a_n}的通项公式．
（II）利用放缩法证明，先求当k由1到n时，（a_k-a_k+1）（sina_k-sina_k+1）的每一项的范围，可构造函数f（x）=x-sinx，x∈（0，1]，利用导数判断函数的单调性，得到a_k-sina_k＞a_k+1-sina_k+1，∴0＜sina_k-sina_k+1＜a_k-a_k+1，再根据又a_k-a_k+1＞0，得到，（a_k-a_k+1）（sina_k-sina_k+1）＜（a_k-a_k+1）²=，最后就可得出结论．
解答：解：（I）∵a_n+a_n+1=，∴a_n+1-），
∴a_n-．
（II）设f（x）=x-sinx，x∈（0，1]，
]单调递增．∵1＞a_k＞a_k+1＞0，
∴f（a_k）＞f（a_k+1），即a_k-sina_k＞a_k+1-sina_k+1，
∴0＜sina_k-sina_k+1＜a_k-a_k+1，
又a_k-a_k+1＞0，∴（a_k-a_k+1）（sina_k-sina_k+1）＜（a_k-a_k+1）²=，
ⁿ（a_k-a_k+1）（sina_k-sina_k+1）＜
点评：本题考查了数列和函数的综合，综合性强，做题时应认真分析，找到两者之间的联系．