Question

设数列a₁，a₂，…，a_n，…的前n项的和S_n与a_n的关系是S_n=ka_n+1，（其中k是与n无关的常数，且k≠1）．
（1）试写出用n，k表示的a_n的表达式；
（2）若

lim

n→∞

sn=1，求k的取值范围．

Answer 1

（1）∵S_n=ka_n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（ka_n+1+1）-（ka_n+1），
∴a_n+1=ka_n+1-ka_n，即 （k-1）a_n+1=ka_n，
∵k≠1解得an+1=

k

k-1

an(1)
若k≠0，则由题设知a₁≠0，由（1）式易知a_n≠0，n≥1，
∴

an+1

an

=

k

k-1

故该数列是公比为

k

k-1

的等比数列，
其首项为a1=S1=ka1+1，a1=

1

1-k

∴an=

1

1-k

(

k

k-1

)n-1=-

kn-1

(k-1)n

.
当k=0时，由（1）式知a_n=0，上式当n≥1时对k=0也成立．
（2）若

lim

n→∞

Sn=1，即

lim

n→∞

(kan+1)=1，

lim

n→∞

kan=

lim

n→∞

(Sn-1)=0，即

lim

n→∞

k•

-kn-1

(k-1)n

=0，
∴

lim

n→∞

(

k

k-1

)n=0，∴|

k

k-1

|＜1，解得k＜

1

2

.
∴k的范围：k＜

1

2