Question

设数列a₁，a₂，…，a_n，…中的每一项都不为0．证明：{a_n}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N，都有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

n

a1an+1

．

Answer 1

分析：先证必要性；设数列a_n的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立．
若d≠0，则

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

d

[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+ (

1

an

-

1

an+1

) ]=

n

a1an+1

．再用数学归纲法证明充分性：对任何n∈N，都有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

n

a1an+1

，{a_n}是公差为d的等差数列．

解答：证明：先证必要性
设数列a_n的公差为d，若d=0，则所述等式显然成立．
若d≠0，则

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

d

[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+ (

1

an

-

1

an+1

) ]
=

1

d

(

1

a1

-

1

an+1

)=

n

a1an+1

．
再证充分性：
用数学归纳法证明：
①设所述的等式对一切n∈N都成立，首先在等式

1

a1a2

+

1

a2a3

=

2

a1a3

①
两端同时乘a₁a₂a₃，即得a₁+a₃=2a₂，
所以a₁，a₂，a₃成等差数列，记公差为d，则a₂=a₁+d．
②假设a_k=a₁+（k-1）d，当n=k+1时，观察如下二等式

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

ak-1ak

=

1

a1ak

②，

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+ 

1

ak-1ak

+

1

akak+1

=

k

a1ak+1

③将②代入③得

k-1

a1ak

+

1

akak+1

=

k

a1ak+1

，
在该式两端同时乘a₁a_ka_k+1，得（k-1）a_k+1+a₁=ka_k，
把a_k=a₁+（k-1）d代入后，整理得a_k+1=a₁+kd．
由数学归纳法原理知对任何n∈N，都有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

n

a1an+1

．
所以，{a_n}是公差为d的等差数列．

点评：本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．