Question

如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足.

（1）求证：；
（2）在棱上确定一点，使、、、四点共面，并求此时的长；
（3）求几何体的体积.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）.

试题分析：（1）连接，先由正方体的性质得到，以及平面，从而得到，利用直线与平面垂直的判定定理可以得到平面，于是得到；（2）假设四点、、、四点共面，利用平面与平面平行的性质定理得到，，于是得到四边形为平行四边形，从而得到的长度，再结合勾股定理得到的长度，最终得到的长度；（3）连接，由正方体的性质得到，结合（1）中的结论平面，得到
平面，然后选择以点为顶点，为高，四边形为底面的四棱锥，利用锥体的体积公式计算几何体的体积.
试题解析：（1）如下图所示，连接，

由于为正方体，所以四边形为正方形，所以，
且平面，，
，平面，
平面，；
（2）如下图所示，假设、、、四点共面，则、、、四点确定平面，

由于为正方体，所以平面平面，
平面平面，平面平面，
由平面与平面平行的判定定理得，
同理可得，因此四边形为平行四边形，，
在中，，，，
由勾股定理得，
在直角梯形中，下底，直角腰，斜腰，
由勾股定理可得，
结合图形可知，解得；
（3）如下图所示，连接交于点，

由于为正方体，，，，
所以四边形为平行四边形，，
由（1）知，平面，所以平面，平面，
由于为棱长为正方体，所以，
，
在直角梯形中，直角腰，上底，下底，
因此梯形的面积，
因此几何体的体积.