Question

【题目】已知函数和分别是上的奇函数和偶函数，且，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）当时，分别求出曲线和切线斜率的最小值；

（Ⅲ）设，证明：当时，曲线在曲线和之间，且相互之间没有公共点．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）曲线和切线斜率的最小值分别为和；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由函数奇偶性，可得，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ），由基本不等式可得的最小值为2，又，可知曲线和切线斜率的最小值分别为2和0；（Ⅲ）由已知，，

故只需证，此命题等价于且，构造函数，分情况讨论及时，的函数值取值情况.

试题解析：（Ⅰ）由已知得，

所以。

（Ⅱ），

，

当时，，

由基本不等式，有，当且仅当时等号成立。

故在单调递增，即。

所以当时，曲线和切线斜率的最小值分别为2和0。

（Ⅲ）当时，

因为。

所以只需证。

等价于，

等价于。

设函数，

。

①若，则，故在上为增函数，从而当时，，即。

②若，则，故在上为减函数，从而当时，，即。

综上，当时，成立，

即曲线在曲线和之间，且相互之间没有公共点。