Question

（2009•武汉模拟）如图，在四面体A-BCD中，AB=AD=

2

，BD=2，DC=1，且BD⊥DC，二面角A-BD-C大小为60°．
（1）求证：平面ABC上平面BCD；
（2）求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取BD、BC中点分别为M、N，证明AN和两相交直线BD及MN均垂直，得到AN⊥面BDC，从而证得面ABC⊥面BCD．
（2）由（1）可知平面ABC⊥平面BDC，过D向BC作垂线于足H，从而DH⊥面ABC，解Rt△BDC，求出∠DCH 的正弦值，
即为所求．

解答：解：（1）证明：在四面体A-BCD中，取BD、BC中点分别为M、N，连接MN，则MN∥DC．
∵BD⊥DC，则MN⊥BD． 又AD=AB=

2

，则AM⊥BD，∴∠AMN中，AM=1，MN=

1

2

，∠AMN=60°，可知∠ANM=90°．
又BD⊥面AMN，则BD⊥AN，∴AN和两相交直线BD及MN均垂直，从而AN⊥面BDC，
又面ABC经过直线AN，故面ABC⊥面BCD．
（2）由（1）可知平面ABC⊥平面BDC，过D向BC作垂线于足H，从而DH⊥面ABC，
在Rt△BDC中，BD=2，DC=1，则DH=

2

5

，于是DC与平面ABC所成角即∠DCH，∴sin∠DCH=

2

5

=

2 5

5

，
因此直线CD与平面ABC所成角的正弦值为

2 5

5

．

点评：本题考查证明两个平面垂直的方法，求直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，找出直线CD与平面ABC所成角，是解题的关键．