题目内容
（2012年高考（北京理））设A是由
个实数组成的
行
列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记
为所有这样的数表构成的集合.
对于
，记
为A的第
行各数之和
，
为A的第
列各数之和
；
记
为
，
，…，
，
，
，…，
中的最小值.
（1）对如下数表A,求的值；
| 1 | 1 | -0.8 |
| 0.1 | -0.3 | -1 |
（2）设数表A=
形如
| 1 | 1 | 1 |
|
|
| -1 |
求的最大值；
（3）给定正整数
，对于所有的A∈S(2，
),求的最大值。
【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严谨的逻辑思维能力.
解:(1)由题意可知
,
,
,
,
∴
(2)先用反证法证明
:
若
则
,∴
同理可知
,∴
由题目所有数和为
即
∴
与题目条件矛盾
∴.
易知当
时,
存在 ∴
的最大值为1
(3)
的最大值为
.
首先构造满足
的
:
,
.
经计算知,
中每个元素的绝对值都小于1,所有元素之和为0,且
,
,
.
下面证明是最大值. 若不然,则存在一个数表
,使得
.
由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于
,而两个绝对值不超过1的数的和,其绝对值不超过2,故的每一列两个数之和的绝对值都在区间
中. 由于
,故的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于
.
设中有
列的列和为正,有
列的列和为负,由对称性不妨设
,则
. 另外,由对称性不妨设的第一行行和为正,第二行行和为负.
考虑的第一行,由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于
个负数,每个正数的绝对值不超过1(即每个正数均不超过1),每个负数的绝对值不小于(即每个负数均不超过
). 因此
,
故的第一行行和的绝对值小于,与假设矛盾. 因此的最大值为.
练习册系列答案
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,
,
,则
___________.
为等差数列,
为其前
,
,则
________.
的值为________;
的最大值为________.
B．
C．
D．
,
,则
=（ ）
B．
C．
D．