Question

（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD．
（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？

Answer 1

分析：（1）证明BD被AC平分，即证明OB=OD，结合同底等高的三角形面积相等这一性质，不难想到要证明线段相等，可以证明线段所在的三角形全等．
（2）将（1）的思路进行倒推，不难解决本小题．

解答：解：（1）证：S_△ABC=S_△ADC′
且△ABC与△ADC有同底AC，
∴两高线相等：BE=DF
设AC与BD交于点O，
则Rt△BOE≌Rt△DOF，∴OB=OD，即AC平分BD．

（2）逆命题：若四边形ABCD的对角线AC平分对角线BD，
则AC必将四边形分成两个面积相等的三角形这个逆命题是正确的．
证明如下：在图中，由于OB=OD，∠BOE=∠DOF
，∠BEO=∠DFO=Rt∠，∴△BOE≌△DOF．
∴BE=DF，即两高线相等．∴S_△ABC=

1

2

AC•BE=

1

2

AC•DF=S_△ADC'．

点评：证明线段相等是平面几何常见题型，常用的方法有：利用平行线等分线段定理、等腰三角形的性质、全等三角形对边相等、平行四边形对角线互相平分等，同学们要注意平时多进行总结．