题目内容
设△ABC的外心为O，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．（1）若
| OA |
| a |
| OB |
| b |
| OC |
| c |
| a |
| b |
| c |
| OH |
（2）求证：AH⊥BC；
（3）设△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，外接圆半径为R，用R表示
| |OH| |
分析：（1）利用向量的三角形法则即可；
（2）利用向量的三角形法则、外心的性质、
⊥
?
•
=0即可证明；
（3）利用向量模的计算公式、外心的性质即可求出．
（2）利用向量的三角形法则、外心的性质、
| m |
| n |
| m |
| n |
（3）利用向量模的计算公式、外心的性质即可求出．
解答：解：（1）由三角形法则可得
=
+
=
+(
+
)=
+
+
；
（2）∵
=
+
=-
+(
+
+
)=
+
，
=
-
=
-
，
∴
•
=(
+
)•(
-
)=
2-
2，
∵O点是△ABC的外心，∴|
|=|
|，
∴
•
=0，
∴
⊥
．即AH⊥BC
（3）|
|2=(
+
+
)2=
2+
2+
2+2
•
+2
•
+2
•
=3R2+2R2(cos＜
，
＞+cos＜
，
＞+cos＜
，
＞)，
∵A=60°，点O是外心，∴＜
，
＞=120°，∴cos＜
，
＞=-
；
同理cos＜
，
＞=0，cos＜
，
＞=-
．
∴|
|2=(2-
)R2．
∴|
|=
R=
R=
R．
| OH |
| OC |
| OD |
| OC |
| OA |
| OB |
| a |
| b |
| c |
（2）∵
| AH |
| AO |
| OH |
| a |
| a |
| b |
| c |
| b |
| c |
| BC |
| OC |
| OB |
| c |
| b |
∴
| AH |
| BC |
| c |
| b |
| c |
| b |
| c |
| b |
∵O点是△ABC的外心，∴|
| c |
| b |
∴
| AH |
| BC |
∴
| AH |
| BC |
（3）|
| OH |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| b |
| c |
| a |
| c |
=3R2+2R2(cos＜
| a |
| b |
| b |
| c |
| a |
| c |
∵A=60°，点O是外心，∴＜
| b |
| c |
| b |
| c |
| 1 |
| 2 |
同理cos＜
| a |
| c |
| a |
| b |
| ||
| 2 |
∴|
| OH |
| 3 |
∴|
| OH |
2-
|
|
| ||||
| 2 |
点评：熟练掌握三角形外心的性质、向量的三角形法则、
⊥
?
•
=0及模的计算公式是解题的关键．
| m |
| n |
| m |
| n |
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设△ABC的外心为O，重心为G，取点H，使
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设△ABC的外心为O，重心为G，取点H，使
．求证：
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