Question

在数列{a_n}中，a₁=,a_n+1= (n∈N^*).

(1)用数学归纳法证明：a_n＞2(n∈N^*);

(2)对于n∈N^*,证明：

①a_n+1-2＜(a_n-2)；

②a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2n+1.

Answer 1

证明：(1)①当n=1时，a₁=＞2，结论成立.

②假设n=k(k≥1)不等式a_k＞2成立，

当n=k+1时,a_k+1=，

∴a_k+1-2=-2=.

由a_k＞2得a_k+1-2＞0，即a_k+1＞2.

说明当n=k+1时，不等式也成立.

根据①和②,可知不等式a_n＞2对于n∈N^*都成立.

（2）①由（1）可知a_n＞2(n∈N^*)，

∴a_n+1-2＞0,a_n-2＞0,

则a_n+1-.

∵0＜a_n-2＜a_n-1,则0＜＜1,

∴＜,即a_n+1-2＜(a_n-2).

②由①可知，当n≥2时，

a_n-2＜(a_n-1-2)＜(a_n-2-2)＜(a_n-3-2)＜…＜·(a₁-2)=,

则a_n＜2+.

∴a₁+a₂+a₃+…+a_n＜(2+)+(2+)+(2+)+…+(2+)=2n+(+++…+)=2n+.

当n=1时，a₁=＜2×1+1，不等式也成立，故对于任意n∈N^*，都有a₁+a₂+a₃+…+a_n＜2n+1.