题目内容

已知椭圆：
x2
4
+
y2
b2
=1(0＜b＜2)，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|
BF2
|+|
AF2
|的最大值为5，则b的值是（　　）
分析：利用椭圆的定义，结合∵|
BF2
|+|
AF2
|的最大值为5，可得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|的最小值为3，由此可得结论．
解答：解：由题意：|
BF2
|+|
AF2
|+|AB|=4a=8
∵|
BF2
|+|
AF2
|的最大值为5，∴|AB|的最小值为3
当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A（-c，
3
2
），B（-c，-
3
2
）
代入椭圆方程可得：
c2
4
+
9
4b2
=1
∵c2=4-b2
∴
4-b2
4
+
9
4b2
=1
∴b=
3

故选D．
点评：本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C方程为
x2
4
+
y2
3
=1，直线l：y=
x
2
+m与椭圆C交于A、B两点，点P(1，
3
2
)，
（1）求弦AB中点M的轨迹方程；
（2）设直线PA、PB斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2为定值．
已知椭圆
x2
4
+y2=1的左、右顶点分别为A、B，曲线E是以椭圆中心为顶点，B为焦点的抛物线．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=
k
(x-1)与曲线E交于不同的两点M、N，当
AM
•
AN
≥17时，求直线l的倾斜角θ的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1判断C2与C1是否相似，如果相似则求出C2与C1的相似比，若不相似请说明理由；
（2）写出与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．
（2013•浙江模拟）已知椭圆
y2
5
+
x2
4
=1的上、下焦点分别为N、M，若动点P满足
MP
•
MN
=|
PN
|•|
MN
|
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）直线l1：y=-1，设倾斜角为α的直线l2过点N，交轨迹C于两点A、B，交直线l1于点R．若α∈（0，
π
6
]，求|AR|•|BR|的最小值．
（1）如图1，已知定点F1（-2，0）、F2（2，0），动点N满足|
ON
|=1（O为坐标原点），
F1M
=2
NM
，
MP
=λ
MF2
（λ∈R），
F1M
•
PN
=0，求点P的轨迹方程．
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（2）如图2，已知椭圆C：
x2
4
+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N，
（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2为定值；
（ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

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