Question

已知椭圆

x2

4

+y2=1的左、右顶点分别为A、B，曲线E是以椭圆中心为顶点，B为焦点的抛物线．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=

k

(x-1)与曲线E交于不同的两点M、N，当

AM

•

AN

≥17时，求直线l的倾斜角θ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意可求A，B进而可求抛物线E的方程
（Ⅱ）由

y= k (x-1) y2=8x

得：kx²-（2k+8）x+k=0，由

△=(2k+8)2-4k2＞0 k＞0

可求k的范围，再由

AM

•

AN

=(x1+2，y1)(x2+2，y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2可求k的范围，进而可求θ的范围

解答：解：（Ⅰ）依题意得：A（-2，0），B（2，0），
∴曲线E的方程为y²=8x．…（4分）
（Ⅱ）由

y= k (x-1) y2=8x

得：kx²-（2k+8）x+k=0，
由

△=(2k+8)2-4k2＞0 k＞0

?k＞0…（7分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则：x1+x2=

2k+8

k

，x1x2=1，
∴

AM

•

AN

=(x1+2，y1)(x2+2，y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2…（9分）
=(k+1)x1x2+(2-k)(x1+x2)+4+k=

16

k

+1≥17
∴0＜k≤1，∴θ∈(0，

π

4

]．…（12分）

点评：本题主要考查了利用抛物线的性质求解抛物线的方程，直线与抛物线方程的相交的处理中，要注意方程的根与系数的关系的应用．