Question

已知椭圆C方程为

x2

4

+

y2

3

=1，直线l：y=

x

2

+m与椭圆C交于A、B两点，点P(1，

3

2

)，
（1）求弦AB中点M的轨迹方程；
（2）设直线PA、PB斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁+k₂为定值．

Answer 1

分析：（1）将l：y=

x

2

+m代入

x2

4

+

y2

3

=1消去y并整理得4x²+4mx+4m²-12=0，由△＞0，知-2＜m＜2．再由x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，知弦AB中点M的轨迹方程是y=-

3

2

x在椭圆内部部分．
（2）先设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），根据斜率公式k1+k2=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=

x1x2+(m- 3 2 )(x1+x2-2)- x1+x2 2

x1x2-(x1+x2)+1

即可求出结果．

解答：解：（1）将l：y=

x

2

+m代入

x2

4

+

y2

3

=1，
消去y并整理得4x²+4mx+4m²-12=0，
△=16m²-16（4m²-12）=48（4-m²）＞0，
-2＜m＜2．
x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，
x0=-

m

2

，y0=

3

4

m，
∴弦AB中点M的轨迹方程是y=-

3

2

x在椭圆内部部分．（6分）
（2）设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），A、B两点在直线l：y=

x

2

+m上
∴k1+k2=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=

x1x2+(m- 3 2 )(x1+x2-2)- x1+x2 2

x1x2-(x1+x2)+1

=

m2-3+(m- 3 2 )(-m-2)+ m 2

m2-3+m+1

=0（12分）

点评：本题考查直线 与圆锥曲线的位置关系的综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，合理地进行等价转化．