题目内容
已知点A（2，0），⊙B：（x+2）2+y2=36．P为⊙B上的动点，线段BP上的点M满足|MP|=|MA|．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点B（-2，0）的直线l与轨迹C交于S、T两点，且
| SB |
| BT |
分析：（Ⅰ）由题意有可得|MA|+|MB|=6，故点M的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆，根据椭圆的定义可得a=3，
c=2，可得b=
，故轨迹C的方程为
+
=1．
（Ⅱ） 设l的方程为y=k（x+2），代入
+
=1得，（5+9k2）x2+36k2x+36k2-45=0．可得
x1=
，x2=
，由
=2
，可得 （-2-x1，0-y1）=2（x2+2，y2） ①，
由此求出斜率k的值，即得l的方程．
c=2，可得b=
| 5 |
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
（Ⅱ） 设l的方程为y=k（x+2），代入
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
x1=
| 30-18k2 |
| 5+9k2 |
| -18k2-30 |
| 5+9k2 |
| SB |
| BT |
由此求出斜率k的值，即得l的方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意有可得|MA|+|MB|=|MP|+|MB|=6＞|AB|，故点M的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆，
a=3，c=2，∴b=
，故轨迹C的方程为
+
=1．
（Ⅱ） 显然直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x+2），代入
+
=1得，
（5+9k2）x2+36k2x+36k2-45=0．∵l过焦点，∴△＞0显然成立．
设s（x1，y1），T（x2，y2），∵
=2
，∴（-2-x1，0-y1）=2（x2+2，y2） ①，
且
，由①②解得x1=
，x2=
代入③
整理得：k2=3，∴k=±
，∴l的方程为y=±
(x+2)．
a=3，c=2，∴b=
| 5 |
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
（Ⅱ） 显然直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x+2），代入
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
（5+9k2）x2+36k2x+36k2-45=0．∵l过焦点，∴△＞0显然成立．
设s（x1，y1），T（x2，y2），∵
| SB |
| BT |
且
|
| 30-18k2 |
| 5+9k2 |
| -18k2-30 |
| 5+9k2 |
整理得：k2=3，∴k=±
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量坐标形式的运算，求出
x1=
，x2=
，是解题的难点．
x1=
| 30-18k2 |
| 5+9k2 |
| -18k2-30 |
| 5+9k2 |
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