题目内容

(2012•朝阳区二模)在平面直角坐标系x0y中,已知点A(-
2
,0),B(
2
,0
),E为动点,且直线EA与直线EB的斜率之积为-
1
2

(Ⅰ)求动点E的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的两点M,N.若点P在y轴上,且|PM|=|PN|,求点P的纵坐标的取值范围.
分析:(Ⅰ)设动点E的坐标为(x,y),由点A(-
2
,0),B(
2
,0
),E为动点,且直线EA与直线EB的斜率之积为-
1
2
,知
y
x+
2
y
x-
2
=-
1
2
,由此能求出动点E的轨迹C的方程.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-1),将y=k(x-1)代入
x2
2
+y2=1
,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,由题设条件能推导出直线MN的垂直平分线的方程为y+
k
2k2+1
=-
1
k
(x-
2k2
2k2-1
)
,由此能求出点P纵坐标的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)设动点E的坐标为(x,y),
∵点A(-
2
,0),B(
2
,0
),E为动点,且直线EA与直线EB的斜率之积为-
1
2

y
x+
2
y
x-
2
=-
1
2

整理,得
x2
2
+y2=1
,x≠±
2

∴动点E的轨迹C的方程为
x2
2
+y2=1
,x≠±
2

(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,满足条件的点P的纵坐标为0,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),
将y=k(x-1)代入
x2
2
+y2=1
,并整理,得
(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
△=8k2+8>0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=
4k2
2k2+1
,x1x2=
2k2-2
2k2+1

设MN的中点为Q,则xQ=
2k2
2k2+1
yQ=k(xQ-1)=-
k
2k2+1

∴Q(
2k2
2k2+1
,-
k
2k2+1
),
由题意知k≠0,
又直线MN的垂直平分线的方程为y+
k
2k2+1
=-
1
k
(x-
2k2
2k2-1
)

令x=0,得yP=
k
2k2+1
=
1
2k+
1
k

当k>0时,∵2k+
1
k
≥2
2
,∴0<yP
1
2
2
=
2
4

当k<0时,因为2k+
1
k
≤-2
2
,所以0>yP≥-
1
2
2
=-
2
4

综上所述,点P纵坐标的取值范围是[-
2
4
2
4
].
点评:本题考查动点的轨迹方程的求法,考查点的纵坐标的取值范围的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线与椭圆位置的综合运用.
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