题目内容
(2012•朝阳区二模)在平面直角坐标系x0y中,已知点A(-
,0),B(
,0),E为动点,且直线EA与直线EB的斜率之积为-
.
(Ⅰ)求动点E的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的两点M,N.若点P在y轴上,且|PM|=|PN|,求点P的纵坐标的取值范围.
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1 |
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(Ⅰ)求动点E的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的两点M,N.若点P在y轴上,且|PM|=|PN|,求点P的纵坐标的取值范围.
分析:(Ⅰ)设动点E的坐标为(x,y),由点A(-
,0),B(
,0),E为动点,且直线EA与直线EB的斜率之积为-
,知
•
=-
,由此能求出动点E的轨迹C的方程.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-1),将y=k(x-1)代入
+y2=1,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,由题设条件能推导出直线MN的垂直平分线的方程为y+
=-
(x-
),由此能求出点P纵坐标的取值范围.
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1 |
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y | ||
x+
|
y | ||
x-
|
1 |
2 |
(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-1),将y=k(x-1)代入
x2 |
2 |
k |
2k2+1 |
1 |
k |
2k2 |
2k2-1 |
解答:解:(Ⅰ)设动点E的坐标为(x,y),
∵点A(-
,0),B(
,0),E为动点,且直线EA与直线EB的斜率之积为-
,
∴
•
=-
,
整理,得
+y2=1,x≠±
,
∴动点E的轨迹C的方程为
+y2=1,x≠±
.
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,满足条件的点P的纵坐标为0,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),
将y=k(x-1)代入
+y2=1,并整理,得
(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
△=8k2+8>0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=
,x1x2=
,
设MN的中点为Q,则xQ=
,yQ=k(xQ-1)=-
,
∴Q(
,-
),
由题意知k≠0,
又直线MN的垂直平分线的方程为y+
=-
(x-
),
令x=0,得yP=
=
,
当k>0时,∵2k+
≥2
,∴0<yP≤
=
;
当k<0时,因为2k+
≤-2
,所以0>yP≥-
=-
.
综上所述,点P纵坐标的取值范围是[-
,
].
∵点A(-
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2 |
1 |
2 |
∴
y | ||
x+
|
y | ||
x-
|
1 |
2 |
整理,得
x2 |
2 |
2 |
∴动点E的轨迹C的方程为
x2 |
2 |
2 |
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,满足条件的点P的纵坐标为0,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),
将y=k(x-1)代入
x2 |
2 |
(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
△=8k2+8>0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=
4k2 |
2k2+1 |
2k2-2 |
2k2+1 |
设MN的中点为Q,则xQ=
2k2 |
2k2+1 |
k |
2k2+1 |
∴Q(
2k2 |
2k2+1 |
k |
2k2+1 |
由题意知k≠0,
又直线MN的垂直平分线的方程为y+
k |
2k2+1 |
1 |
k |
2k2 |
2k2-1 |
令x=0,得yP=
k |
2k2+1 |
1 | ||
2k+
|
当k>0时,∵2k+
1 |
k |
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1 | ||
2
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| ||
4 |
当k<0时,因为2k+
1 |
k |
2 |
1 | ||
2
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| ||
4 |
综上所述,点P纵坐标的取值范围是[-
| ||
4 |
| ||
4 |
点评:本题考查动点的轨迹方程的求法,考查点的纵坐标的取值范围的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线与椭圆位置的综合运用.
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