题目内容
在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,0),B (0,23 |
π |
2 |
(1)若
AB |
OC |
(2)设点D(1,0),求
AC |
BD |
(3)设点E(a,0),a∈R,将
OC |
CE |
分析:(1)由已知中A(-2,0),B (0,2
),C(2cosθ,sinθ),我们可以计算出向量
,
的坐标,进而由
∥
,我们可以构造一个三角方程,利用同角三角函数关系,即可求出tanθ的值;
(2)由D的坐标,我们可以进而求出向量
,
的坐标,根据向量数量积的运算公式,我们可以给出
•
的表达式,然后根据余弦型函数的性质,及θ∈[0,
]求出其最大值.
(3)由点E的坐标,我们可以求出向量
,
的坐标,根据向量数量积的运算公式,我们可以将
•
表示成θ的函数,利用换元法,将其转化为二次函数在定区间上的最值问题后,即可得到答案.
3 |
AB |
OC |
AB |
OC |
(2)由D的坐标,我们可以进而求出向量
AC |
BD |
AC |
BD |
π |
2 |
(3)由点E的坐标,我们可以求出向量
OC |
CE |
OC |
CE |
解答:解:(1)由已知,得
=(2,2
),
=(2cosθ,sinθ),…(2分)
因为
∥
,所以4
cosθ=2sinθ,tanθ=2
.…(3分)
(2)由已知,
=(2cosθ+2,sinθ),
=(1,-2
),
•
=2cosθ-2
sinθ+2=4cos(θ+
)+2…(5分)
又θ+
∈[
,
],…(6分)
所以,当θ=0时,
•
取得最大值,最大值为4.…(8分)
(3)由已知,
=(a-2cosθ,-sinθ),
所以,
•
=2acosθ-4cos2θ-sin2θ=-3cos2θ+2acosθ-1,
设t=cosθ,
•
=-3t2+2at-1,t∈[0,1]…(10分)
当
<
,即a<
时,f(a)=2a-4,
当
≥
,即a≥
时,f(a)=-1,
所以,f(a)=
…(12分)
因为当a<
时,f(a)<f(
)=-1,当a≥
时,f(a)=-1,
所以f(a)的最大值为-1.…(14分)
AB |
3 |
OC |
因为
AB |
OC |
3 |
3 |
(2)由已知,
AC |
BD |
3 |
AC |
BD |
3 |
π |
3 |
又θ+
π |
3 |
π |
3 |
5π |
6 |
所以,当θ=0时,
AC |
BD |
(3)由已知,
CE |
所以,
OC |
CE |
设t=cosθ,
OC |
CE |
当
a |
3 |
1 |
2 |
3 |
2 |
当
a |
3 |
1 |
2 |
3 |
2 |
所以,f(a)=
|
因为当a<
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
所以f(a)的最大值为-1.…(14分)
点评:本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用,平面向量的综合题,熟练掌握平面向量平行的充要条件,平面向量数量积的运算公式,是解答本题的关键.
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