题目内容
在直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），B (0，2| 3 |
| π |
| 2 |
（1）若
| AB |
| OC |
（2）设点D（1，0），求
| AC |
| BD |
（3）设点E（a，0），a∈R，将
| OC |
| CE |
分析：（1）由已知中A（-2，0），B (0，2
)，C（2cosθ，sinθ），我们可以计算出向量
，
的坐标，进而由
∥
，我们可以构造一个三角方程，利用同角三角函数关系，即可求出tanθ的值；
（2）由D的坐标，我们可以进而求出向量
，
的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以给出
•
的表达式，然后根据余弦型函数的性质，及θ∈[0，
]求出其最大值．
（3）由点E的坐标，我们可以求出向量
，
的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以将
•
表示成θ的函数，利用换元法，将其转化为二次函数在定区间上的最值问题后，即可得到答案．
| 3 |
| AB |
| OC |
| AB |
| OC |
（2）由D的坐标，我们可以进而求出向量
| AC |
| BD |
| AC |
| BD |
| π |
| 2 |
（3）由点E的坐标，我们可以求出向量
| OC |
| CE |
| OC |
| CE |
解答：解：（1）由已知，得
=(2，2
)，
=(2cosθ，sinθ)，…（2分）
因为
∥
，所以4
cosθ=2sinθ，tanθ=2
．…（3分）
（2）由已知，
=(2cosθ+2，sinθ)，
=(1，-2
)，
•
=2cosθ-2
sinθ+2=4cos(θ+
)+2…（5分）
又θ+
∈[
，
]，…（6分）
所以，当θ=0时，
•
取得最大值，最大值为4．…（8分）
（3）由已知，
=(a-2cosθ，-sinθ)，
所以，
•
=2acosθ-4cos2θ-sin2θ=-3cos2θ+2acosθ-1，
设t=cosθ，
•
=-3t2+2at-1，t∈[0，1]…（10分）
当
＜
，即a＜
时，f（a）=2a-4，
当
≥
，即a≥
时，f（a）=-1，
所以，f(a)=
…（12分）
因为当a＜
时，f(a)＜f(
)=-1，当a≥
时，f（a）=-1，
所以f（a）的最大值为-1．…（14分）
| AB |
| 3 |
| OC |
因为
| AB |
| OC |
| 3 |
| 3 |
（2）由已知，
| AC |
| BD |
| 3 |
| AC |
| BD |
| 3 |
| π |
| 3 |
又θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
所以，当θ=0时，
| AC |
| BD |
（3）由已知，
| CE |
所以，
| OC |
| CE |
设t=cosθ，
| OC |
| CE |
当
| a |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
当
| a |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
所以，f(a)=
|
因为当a＜
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
所以f（a）的最大值为-1．…（14分）
点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，平面向量的综合题，熟练掌握平面向量平行的充要条件，平面向量数量积的运算公式，是解答本题的关键．
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