题目内容

在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,0),B (0,2
3
)
,C(2cosθ,sinθ),其中θ∈[0,
π
2
]

(1)若
AB
OC
,求tanθ的值;
(2)设点D(1,0),求
AC
 •  
BD
的最大值;
(3)设点E(a,0),a∈R,将
OC
 •  
CE
表示成θ的函数,记其最小值为f(a),求f(a)的表达式,并求f(a)的最大值.
分析:(1)由已知中A(-2,0),B (0,2
3
)
,C(2cosθ,sinθ),我们可以计算出向量
AB
OC
的坐标,进而由
AB
OC
,我们可以构造一个三角方程,利用同角三角函数关系,即可求出tanθ的值;
(2)由D的坐标,我们可以进而求出向量
AC
BD
的坐标,根据向量数量积的运算公式,我们可以给出
AC
 •  
BD
的表达式,然后根据余弦型函数的性质,及θ∈[0,
π
2
]
求出其最大值.
(3)由点E的坐标,我们可以求出向量
OC
CE
的坐标,根据向量数量积的运算公式,我们可以将
OC
 •  
CE
表示成θ的函数,利用换元法,将其转化为二次函数在定区间上的最值问题后,即可得到答案.
解答:解:(1)由已知,得
AB
=(2,2
3
)
OC
=(2cosθ,sinθ)
,…(2分)
因为
AB
OC
,所以4
3
cosθ=2sinθ
tanθ=2
3
.…(3分)
(2)由已知,
AC
=(2cosθ+2,sinθ)
BD
=(1,-2
3
)
AC
 •  
BD
=2cosθ-2
3
sinθ+2=4cos(θ+
π
3
)+2
…(5分)
θ+
π
3
∈[
π
3
6
]
,…(6分)
所以,当θ=0时,
AC
 •  
BD
取得最大值,最大值为4.…(8分)
(3)由已知,
CE
=(a-2cosθ,-sinθ)

所以,
OC
CE
=2acosθ-4cos2θ-sin2θ=-3cos2θ+2acosθ-1

设t=cosθ,
OC
CE
=-3t2+2at-1,t∈[0,1]
…(10分)
a
3
1
2
,即a<
3
2
时,f(a)=2a-4,
a
3
1
2
,即a≥
3
2
时,f(a)=-1,
所以,f(a)=
2a-4,a<
3
2
-1 a≥
3
2
…(12分)
因为当a<
3
2
时,f(a)<f(
3
2
)=-1
,当a≥
3
2
时,f(a)=-1,
所以f(a)的最大值为-1.…(14分)
点评:本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用,平面向量的综合题,熟练掌握平面向量平行的充要条件,平面向量数量积的运算公式,是解答本题的关键.
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