Question

（2009•黄浦区二模）在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，点D、E分别是棱BC、AP的中点．
（1）试用反证法证明直线DE与直线CP是异面直线；
（2）若PA=PB=PC=4，F为棱AB上的点，且AF=

1

4

AB，求二面角D-EF-B的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）用反证法证明，假设DE与CP不是异面直线．设DE与CP都在平面α上．由P∈α，E∈α，知PE?α．A∈α．由C∈α，D∈α，CD?α．知B∈α．从而得到点A、B、C、P都在平面α上，这与P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱锥）矛盾，由此得到直线DE与CP是异面直线．
（2）建立恰当的空间直角坐标系．借助法向量用向量法求二面角D-EF-B的大小．

解答：解：（1）证明：（反证法）假设DE与CP不是异面直线．（2分）
设DE与CP都在平面α上．∵P∈α，E∈α，∴PE?α．∵A∈PE，∴A∈α．
又∵C∈α，D∈α，∴CD?α．∵B∈CD，∴B∈α．
∴点A、B、C、P都在平面α上，这与P、A、B、C不共面（P-ABC是三棱锥）矛盾，于是，假设不成立．（5分）
所以直线DE与CP是异面直线．（6分）
 （2）按如图所示建立空间直角坐标系．　　　　　　　　　　　　（7分）
由题可知，A（4，0，0）、B（0，4，0）、C（0，0，4），进一步有D（0，2，2）、
E（2，0，0）、F（3，1，0），且平面EFB的一个法向量为

n1

=

OC

=(0，0，4)．
设平面DEF的一个法向量为

n2

=(x，y，z)，则

n2 • DE =0 n2 • EF =0

，即

x-y-z=0 x+y=0

．
取x=1，得y=-1，z=2．
所以

n2

=(1，-1，2)．　　　　　　　　         　　　　　　　 　　（9分）
记

n1

与

n2

的夹角为θ，于是，cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

8

4 6

=

6

3

，θ=arccos

6

3

．　　　   　　　（10分）
结合图形可以判断二面角D-EF-B是锐角，因此二面角D-EF-B的大小为arccos

6

3

．　　　　　　　　　　　（12分）

点评：本题考查异面直线的证明和二面角的求法，解题时要认真审题，注意反证法和向量法的灵活运用．