Question

已知抛物线W：y=ax²经过点A（2，1），过A作倾斜角互补的两条不同的直线L₁，L₂．
（1）求抛物线W的方程及其准线方程；
（2）当直线L₁与抛物线W相切时，求直线L₂与抛物线W所围成封闭区域的面积；
（3）设直线L₁、L₂分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于抛物线经过点（2，1），则点的坐标满足抛物线的解析式，即可求出a；
（2）由于直线L₁与抛物线相切，则可求L₁的斜率，亦可得L₂的斜率进而求出L₂的直线，由题意可知联立直线L₂与抛物线的方程，再利用定积分可求出围成封闭区域的面积；
（3）由于直线L₁、L₂分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），则两直线的斜率都存在．故可设其中一条直线的斜率k，求出与抛物线的交点B，进而表示出另一条的斜率和交点C，又由圆以BC为直径，所以可用k表示出圆心和半径，由于以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于半径，得到关于k的等式，解出k，即可求出直线BC．
解答：解：（1）∵A（2，1）在y=ax²上∴1=4a，即a=
∴所求W方程为y=x²，其准线方程为y=-1  …（2分）
（2）当直线L₁与抛物线W相切时，
由y′|_x=2=1可得L₁的斜率为1
∴L₂的斜率为-1，又L₂过A（2，1）
∴L₂方程为：y=-x+3，代入y=x²
得：x²+4x-12=0⇒x₁=2，x₂=-6    …（4分）
∴S=…（6分）
（3）不妨设AB方程为y-1=k（x-2）（k＞0）…（7分）

解得x=2或x=4k-2，∴B（4k-2，4k²-4k+1）…（8分）
又AC斜率为-k，同理可得C（-4k-2，4k²+4k+1）
∴|BC|=8k      …（10分）
线段BC中点为H（-2，4k²+1），
∵以BC为直径的圆与准线y=-1相切，
∴（4k²+1）-（-1）=4k∴k=…（11分）
此时B（2-2，3-2），C（-2-2，3+2）
∴直线BC方程为：y-（3-2）=-[x-（2-2）]
即x+y-1=0                                     …（13分）
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，同时考查导数的几何意义．直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考的内容，要切实掌握好．