Question

已知抛物线W：y=ax²经过点A（2，1），过A作倾斜角互补的两条不同直线l₁，l₂．
（Ⅰ）求抛物线W的方程及准线方程；
（Ⅱ）当直线l₁与抛物线W相切时，求直线l₂的方程
（Ⅲ）设直线l₁，l₂分别交抛物线W于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把点A的坐标代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得．进而根据抛物线的性质求得准线方程．
（Ⅱ）当直线l₁与抛物线相切时，对抛物线方程求导，把x=2代入即可求得直线l₁的斜率，进而可知其倾斜角，推断出直线l2的倾斜角，则直线l₂的斜率求得，进而根据点斜式求得直线方程．
（Ⅲ）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，可求得方程的两个根，进而可推断出B，C点的坐标，根据两点间的距离公式求得BC的表达式，根据以BC为直径的圆与准线y=-1相切，可知4k2+1-(-1)=4

2

k求得k，则B，C点的坐标可求，进而求得BC的斜率，最后根据点斜式求得直线方程．

解答：解：（Ⅰ）由于A（2，1）在抛物线y=ax²上，所以1=4a，即a=

1

4

．
故所求抛物线的方程为y=

1

4

x2，其准线方程为y=-1．

（Ⅱ）当直线l₁与抛物线相切时，由y'|_x=2=1，可知直线l₁的斜率为1，其倾斜角为45°，
所以直线l₂的倾斜角为135°，故直线l₂的斜率为-1，所以l₂的方程为y=-x+3

（Ⅲ）不妨设直线AB的方程为y-1=k（x-2）（k＞0），
由

y-1=k(x-2) y= 1 4 x2

得x²-4kx+8k-4=0，
易知该方程有一个根为2，所以另一个根为4k-2，
所以点B的坐标为（4k-2，4k²-4k+1），
同理可得C点坐标为（-4k-2，4k²+4k+1）．
所以|BC|=

[(4k-2)-(-4k-2)]2+[(4k2-4k+1)-(4k2+4k+1)]2

=

(8k)2+(-8k)2

=8

2

k，．
线段BC的中点为（-2，4k²+1），因为以BC为直径的圆与准线y=-1相切，
所以4k2+1-(-1)=4

2

k，由于k＞0，解得k=

2

2

．
此时，点B的坐标为(2

2

-2，3-2

2

)，点C的坐标为(-2

2

-2，3+2

2

)，
直线BC的斜率为

(3+2 2 )-(3-2 2 )

(-2 2 -2)-(2 2 -2)

=-1，
所以，BC的方程为y-(3-2

2

)=-[x-(2

2

-2)]，即x+y-1=0．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．涉及了直线与抛物线的关系，直线的斜率，两点间的公式的应用，有较强的综合性．