Question

【题目】已知动圆过定点，且在y轴上截得的弦MN的长为8．

（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（2）已知点，长为的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当轴是的角平分线时，求直线PQ的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）设圆心，线段MN的中点为E，由圆的性质得，

结合两点间的距离公式，即可求解．

（2）当PQ与x轴不垂直时，由x轴平分，得，设直线，利用根与系数的关系，求得，进而解得，得出直线的方程；当PQ与x轴垂直时，取得直线PQ的方程为．

（1）由题意，动圆过定点，

设圆心，线段MN的中点为E，连接，则，

则由圆的性质得，所以，

所以，整理得．

当时，也满足上式，

所以动圆的圆心的轨迹方程为．

（2）设，，由题意可知，．

（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时，，，

由x轴平分，得，

所以，所以，整理得，

设直线，代入C的方程得：．

则，所以，解得，

由于，解得，

因此直线PQ的方程为．

（ⅱ）当PQ与x轴垂直时，，可得直线PQ的方程为．

综上，直线PQ的方程为或．