Question

9．如图．在四棱锥P-ABCD中，∠PAD=90°，PA⊥CD．点M是棱PD的中点．
（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2，求异面直线AP与BM所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由线面垂直的判定定理，可得PA⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）取AD的中点为N，连接MN，AN，由线面垂直的性质定理，结合勾股定理，可得BN，BM，再由解直角三角形，即可得到所求余弦值．

解答 解：（1）证明：∠PAD=90°，即为PA⊥AD，
又PA⊥CD，AD∩CD=D，
即有PA⊥平面ABCD，
PA?平面PAB，故平面PAB⊥平面ABCD；
（2）取AD的中点为N，连接MN，AN，
在直角△ABN中，AB=2，AN=1，BN=$\sqrt{5}$，
由（1）可得PA⊥平面ABCD，
即有PA⊥BN，MN∥PA，即有：
MN和MB所成的角（或补角）即为异面直线AP与BM所成角，
在直角三角形BMN中，MN=1，BN=$\sqrt{5}$，BM=$\sqrt{6}$，
即有异面直线AP与BM所成角的余弦值为$\frac{MN}{MB}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查面面垂直的判定和异面直线所成的角的求法，注意运用线面垂直的判定定理和三角形的中位线定理，考查推理能力和运算能力，属于中档题．