Question

【题目】已知圆C：，直线过定点.

（1）若与圆相切，求的方程；

（2）若与圆相交于两点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），;（2）是定值，且为6．

【解析】

试题（1）设过定点，斜率存在或斜率不存在两种情况，利用直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程;（2）解法一：设直线线方程为，与联立求交点,又直线CM与垂直，由联立求交点,求，并化简;解法二：也可利用直线与圆相交，联立方程，利用求中点;解法三：数形结合，利用相似三角形，将转化为定值．

试题解析：（1）解：①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意

②若直线斜率存在，设直线为，即．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，即：，

解之得。

所求直线方程是，。

（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，

且不为0,可设直线方程为

由得．

又直线CM与垂直，由得

为定值。 故是定值，且为6。

解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为。

由得．

再由得．

∴得．

以下同解法一．

解法三：用几何法，

如图所示，△AMC∽△ABN，则，

可得，是定值．