Question

已知函数f（x）=e^x•（ax²+bx+c）满足f(1)=-

1

2

a•e，且3a＞2c≥2b，其中e为自然对数的底，试求证：
（Ⅰ）ab＜0，且-

3

4

≤

c

a

＜

3

2

（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内至少有一个零点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意可得3a+2b+2c=0，利用3a＞2c≥2b，经过推理、变形，利用不等式的性质即可证得ab＜0，-

3

4

≤

c

a

＜

3

2

；
（Ⅱ）令g（x）=ax²+bx+c，可求得g（0）=c，g（2）=a-c，通过对c的取值情况的分析，利用零点存在定理即可证得函数f（x）=e^x•（ax²+bx+c）在（0，2）内至少有一个零点．

解答：证明：（Ⅰ）∵f（1）=e¹（a+b+c）=-

1

2

a•e，
∴a+b+c=-

1

2

a，
∴3a+2b+2c=0，
∵3a＞2c≥2b，①
∴3a＞0，2b＜0，且3a+2c+2c≥0，
∴a＞0，b＜0，且3a≥-4c，
∴ab＜0，a≥-

3

4

，②
∵a＞0，由①得

c

a

＜

3

2

，③
∴由②③得：-

3

4

≤

c

a

＜

3

2

．
（Ⅱ）∵f（x）=e^x（ax²+bx+c），令g（x）=ax²+bx+c，
∵g（0）=c，3a+2b+2c=0，
∴g（2）=（4a+2b+c）=（3a+2b+2c）+（a-c）=a-c，
∵3a＞2c，即

3a

2

＞c，且a＞0，
∴当0＜a＜c＜

3a

2

时，g（0）=c＞0，g（2）=a-c＜0，在（0，2）间必有零点，从而f（x）=e^x（ax²+bx+c）在（0，2）间必有零点；
当0＜c＜a时，由于函数y=g（x）的对称轴x=-

b

2a

=

3a+2c

2a

∈（

5

4

，

3

2

）?（0，2）内，
△=b²-4ac=(-

3a+2c

2

)2-4ac=

9a2+12ac+4c2-16ac

4

=

9a2-4ac+4c2

4

=

9(a- 2 3 c)2

4

≥0，
∴原方程一定与x轴有交点，又g（0）＞0，g（2）＞0，可知这个交点一定在（0，2）间，即g（x）在（0，2）间必有零点，从而f（x）=e^x（ax²+bx+c）在（0，2）间必有零点；
当c=0时，g（0）=0，g（2）=4a+2b=4a-3a-2c=a-2c=a＞0，同理可得函数y=g（x）的对称轴x=-

b

2a

=

3a+2c

2a

=

3

2

∈（0，2）内，g（x）在（0，2）间必有零点，从而f（x）=e^x（ax²+bx+c）在（0，2）间必有零点；
当c＜0时，g（0）=c＜0，g（2）=a-c＞0，由零点存在定理知，g（x）在（0，2）间必有零点，从而f（x）=e^x（ax²+bx+c）在（0，2）间必有零点；
综上所述，函数f（x）=e^x•（ax²+bx+c）在（0，2）内至少有一个零点．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查转化思想，分类讨论思想、方程与根的分布，对c的范围的讨论是难点，属于难题．