Question

已知x¹⁰=a₀+a₁（x+1）+…+a₁₀（x+1）¹⁰
（1）求a₆的值
（2）求

10

i=1

ai的值
（3）求

10

i=0

|ai|的值．

Answer 1

分析：（1）将x¹⁰写成[（x+1）-1]¹⁰=a₀+a₁（x+1）+…+a₁₀（x+1）¹⁰ 利用二项展开式的通项公式求出a₆=C₁₀⁶=210．
（2）令x=0得到0=a₀+a₁+…+a₁₀，由（1）利用二项展开式的通项公式知，a₀=1，得到

10

i=1

ai=0-1=-1；
（3）利用二项展开式的通项公式得到|a_i|=C₁₀^I，利用二项式系数的和公式得到

10

i=0

|ai|C₁₀⁰+C₁₀¹+C₁₀²+…+C₁₀¹⁰=2¹⁰=1024．

解答：解：（1）∵x¹⁰=[（x+1）-1]¹⁰=a₀+a₁（x+1）+…+a₁₀（x+1）¹⁰
∴a₆=C₁₀⁶=210．
（2）令x=0得到0=a₀+a₁+…+a₁₀
由（1）知，a₀=1，
所以

10

i=1

ai=0-1=-1；
（3）∵x¹⁰=[（x+1）-1]¹⁰=a₀+a₁（x+1）+…+a₁₀（x+1）¹⁰
所以|a_i|=C₁₀^I，
所以

10

i=0

|ai|=C₁₀⁰+C₁₀¹+C₁₀²+…+C₁₀¹⁰=2¹⁰=1024

点评：本题考查二项式定理的应用，解题时要熟练掌握二项定理的逆运用；通过赋值法求展开式的系数和问题．