Question

【题目】

已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=其中λ为实数，n为正整数．

（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有

a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析．

（Ⅱ）见解析．

（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）选择反证法来证明，假设存在推出矛盾．

（Ⅱ）用数列构造一个新数列，我们写出新数列的第项和第项之间的关系，发现的取值影响数列的性质，所以要对进行讨论．

（Ⅲ）根据前面的运算写出数列的前项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意的奇偶情况要分类讨论．

解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即，矛盾．

所以不是等比数列．

（Ⅱ）解：因为

又，所以

当，，此时不是等比数列：

当时，，由上可知，

．

故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当，，，不满足题目要求．

，故知，于是可得

，

要使对任意正整数成立，

即

得

①

当为正奇数时，；当为正偶数时，，

的最大值为（1），的最小值为（2），．

于是，由①式得．

当时，由，不存在实数满足题目要求；

当存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是