Question

(本小题满分12分）
已知函数的零点的集合为{0，1}，且是f（x）的一个极值点。
（1）求的值；
（2）试讨论过点P（m，0）与曲线y＝f（x）相切的直线的条数。

Answer 1

（1）；（2）当或时，，方程①有两等根或，此时，过点或与曲线相切的直线有两条；
当时，，方程①无解，此时过点与曲线相切的直线仅有一条；
当或时，，方程①有两个不同的实根，此时过点与曲线相切的直线有三条.

试题分析：（Ⅰ）函数的零点的集合为，则方程 的解可以为，或.
∴或.
①若，则.
当，或时，，函数为增函数；当，，函数为减函数；
∴，为函数的极值点．与题意不符．
②若，则
当，或时，，函数为增函数；当，，函数为减函数；
∴，为函数的极值点．
综上，函数，即，
而，故，∴               …6分
（Ⅱ）设过点的直线与曲线切于点，
由（Ⅰ）知，∴曲线在点处的切线方程为，
∵满足此方程，故，又
即，∴.
，或…①，关于的方程的判别式
当或时，，方程①有两等根或，此时，过点或与曲线相切的直线有两条；
当时，，方程①无解，此时过点与曲线相切的直线仅有一条；
当或时，，方程①有两个不同的实根，此时过点与曲线相切的直线有三条.                                         …12分
点评：利用导数求曲线的切线方程，我们一定要分清是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”。对于“在某点处的切线”的问题，这一点就是切点，直接根据导数的几何意义写出切线方程即可。对于“过某点的切线”问题，我们一般要把切点坐标设出来解决。