Question

已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为其前n项和，且满足,．数列满足,， 为数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有
的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) ；（2）；（3）存在，，.

试题分析：（1）利用通项公式和求和公式展开解析式，解方程组，得出，，写出解析式；（2）先用裂项相消法求出，再讨论的奇数偶数两种情况，利用恒成立解题；（3）先利用等比中项列出表达式，解出.
试题解析：（1）在中，令，
得  即               2分
解得，，∴                       3分
又∵时，满足，∴  4分
（2）∵，    5分
∴．    6分
①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．     7分
∵，等号在时取得．
此时 需满足.                        8分
②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
∴是随的增大而增大， ∴时取得最小值．
此时需满足．                  9分
∴综合①、②可得的取值范围是．  10分
（3），，，
若成等比数列，则，         11分
即．
由，可得，      12分
即，
∴．                              13分
又，且，所以，此时．
因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．  14分